Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Так как AK=AE=r (отрезки касательных из вершины A равны радиусу), а угол A прямой, треугольники ACK и ACE равны, поэтому $CK=CE$. Из точки $C$ проведены две секущие $CK$ (пересекает окружность в $K$ и $M$) и $CE$ (в $E$ и $P$), поэтому по теореме о произведении отрезков секущих $$CK\cdot CM=CE\cdot CP.$$ Так как $CK=CE$, отсюда $\dfrac{CM}{CK}=\dfrac{CP}{CE}$. У треугольников $CMP$ и $CKE$ общий угол при вершине $C$, а прилежащие стороны пропорциональны — значит, треугольники подобны (по двум сторонам и углу). Следовательно $\angle CMP=\angle CKE$ — это равные соответственные углы при пересечении прямых $EK$ и $MP$ секущей $CK$, значит $EK\parallel MP$.

б) Пусть $O$ — центр окружности, $r=5$. Так как $OE\perp AD$, $OK\perp AB$, а угол $A=90^\circ$, треугольник $EOK$ прямоугольный равнобедренный, значит $\angle OKE=45^\circ$. Вписанный угол $\angle KME$ опирается на ту же дугу $KE$, что и центральный $\angle KOE=90^\circ$, поэтому $\angle KME=45^\circ$.

Так как $OK\perp AB$ и $CB\perp AB$, то $OK\parallel CB$, и при секущей $CK$ $\angle MKO=\angle KCB$ (накрестлежащие углы). Значит $\angle MKE=\angle KCB+45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $CBK$: $BK=AB-AK=10-5=5$, $BC=10$, поэтому $\sin\angle KCB=\dfrac{\sqrt5}{5},\ \cos\angle KCB=\dfrac{2\sqrt5}{5}$.

По теореме синусов для окружности радиуса $r=5$ (то есть диаметр $10$): $$ME=10\sin\angle MKE=10\sin(\angle KCB+45^\circ)=10\left(\sin\angle KCB\cos45^\circ+\cos\angle KCB\sin45^\circ\right)=$$ $$=10\left(\dfrac{\sqrt5}{5}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{2\sqrt5}{5}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=3\sqrt{10}.$$