Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Подобие треугольников. Пусть окружность касается BC в точке P. Так как трапеция ABCD равнобедренная, она симметрична относительно серединного перпендикуляра к основаниям, поэтому касательные, проведённые из B и из C к окружности, равны симметрично: $MB=BP$ и $CN=CP$, а из симметрии самой трапеции $BP=CP$. Значит $MB=CN$, и отрезок $MN$ параллелен $BC$ (а значит и $AD$), так как трапеция $MBCN$ равнобедренная.

Так как $MN\parallel AD$, при пересечении их секущей $AN$ образуются равные накрест-лежащие углы: $$\angle MNK=\angle KAL.$$

По теореме об угле между касательной ($AM$) и хордой ($MK$) угол между ними равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу: $$\angle AMK=\angle MNK.$$

Сложив два равенства, получаем $\angle AML=\angle KAL$ (так как $L$ лежит на луче $MK$, угол $AML$ — это угол $AMK$). Кроме того, угол при вершине $L$ у треугольников $AKL$ и $MAL$ общий ($\angle ALK=\angle ALM$, поскольку $K$ лежит на отрезке $ML$). Значит треугольники $AKL$ и $MAL$ подобны по двум углам, что и требовалось доказать.

б) Нахождение отношения. Из подобия $\triangle AKL\sim\triangle MAL$ соответственные стороны пропорциональны: $$\frac{AL}{ML}=\frac{KL}{AL}\ \Rightarrow\ AL^2=ML\cdot KL.$$

Пусть окружность касается основания $AD$ в точке $Q$. Тогда $LQ$ — касательная из точки $L$, а $LK$ и $LM$ — секущая через ту же окружность, поэтому по теореме о квадрате касательной: $$LQ^2=LK\cdot LM.$$

Сравнивая два равенства, получаем $AL^2=LQ^2$, то есть $AL=LQ$ — значит $L$ является серединой отрезка $AQ$, и $AL=\dfrac12 AQ$.

Так как трапеция равнобедренная, окружность вписана симметрично, и точка касания $Q$ на основании $AD$ является его серединой (это следует из равенства касательных, проведённых из $A$ и из $D$: $AQ=AM$, $DQ=DN$, а $AM=DN$ по симметрии трапеции). Поэтому $AQ=\dfrac12 AD$.

Следовательно: $$AL=\frac12 AQ=\frac12\cdot\frac12 AD=\frac14 AD.$$

Отсюда $LD=AD-AL=\dfrac34AD$, и $$AL:LD=\frac14AD:\frac34AD=1:3.$$