Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Пусть окружность касается BC в точке G, а AD — в точке F. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки: $AM=AF=6x$, $MB=BG=x$ (так как $AM=6MB$), и $CN=CG=2y$, $DN=DF=3y$ (из $2DN=3CN$).

Отрезок $GF$ проходит через центр и перпендикулярен основаниям — это высота трапеции. Опустив высоты из вершин на большее основание, по теореме Пифагора для боковых сторон получаем: $$GF^2=AB^2-(AF-BG)^2=(7x)^2-(5x)^2=24x^2,$$ $$GF^2=CD^2-(DF-CG)^2=(5y)^2-y^2=24y^2.$$ Отсюда $x=y$. Тогда $AD=AF+FD=6x+3y=9y$, а $BC=BG+GC=x+2y=3y$, значит $AD=3BC$ — доказано.

б) Так как $GF=2r$, из $24x^2=(2\sqrt{105})^2=420$ находим $x^2=35/2$.

В прямоугольных треугольниках с высотой $GF$: $\cos A=\dfrac{5x}{7x}=\dfrac57$, $\cos D=\dfrac{y}{5y}=\dfrac15$.

Треугольники $AFM$ и $DFN$ равнобедренные (боковые стороны — касательные), поэтому угол при вершине вдвое больше угла при основании: по формуле косинуса двойного угла $\cos A=1-2\cos^2\angle AFM$ даёт $\cos\angle AFM=\sqrt{1/7}$; аналогично $\cos\angle DFN=\sqrt{2/5}$.

Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при основании: $FM=2\cdot6x\cos\angle AFM=6\sqrt{10}$, $FN=2\cdot3y\cos\angle DFN=6\sqrt7$.

По теореме об угле между касательной и хордой $\angle DFN=\angle FMN$, $\angle AFM=\angle FNM$. Проекция ломаной $FM$–$FN$ на прямую $MN$ равна самой $MN$: $$MN=FM\cos\angle FMN+FN\cos\angle FNM=6\sqrt{10}\cdot\sqrt{\tfrac25}+6\sqrt7\cdot\sqrt{\tfrac17}=12+6=18.$$