Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L, O — центр окружности.

а) Так как AO и BO — биссектрисы углов A и B трапеции при боковой стороне AB, а сумма этих углов равна $180^\circ$ (углы при боковой стороне трапеции), то $\angle OAB+\angle OBA=90^\circ$, значит треугольник AOB прямоугольный с прямым углом при O. Высота OM, опущенная на гипотенузу, удовлетворяет $OM^2=AM\cdot MB$. Аналогично треугольник COD прямоугольный и $ON^2=CN\cdot ND$.

Пусть $BM=x$, тогда $AM=8x$; пусть $CN=y$, тогда $DN=2y$. Получаем $OM=2\sqrt2\,x$, $ON=\sqrt2\,y$. Так как $OM=ON=r$, то $y=2x$.

По равенству отрезков касательных: $BK=BM=x$, $CK=CN=2x$, $AL=AM=8x$, $DL=DN=4x$. Тогда $BC=BK+KC=3x$, $AD=AL+LD=12x$, то есть $AD=4BC$.

б) Из $OM=r=\sqrt6$ и $OM=2\sqrt2\,x$ находим $x=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Продолжим боковые стороны до пересечения в точке P. Треугольники BPC и APD подобны с коэффициентом $BC:AD=1:4$, откуда $AP=4BP$, а из $AB=AP-BP=3BP=9x$ получаем $BP=3x$. Тогда $PM=PB+BM=4x$, аналогично $PN=4x$.

Поскольку $PM=PN$ и $OM=ON$, прямая PO — серединный перпендикуляр к MN, пересекающий его в точке Q. В прямоугольном треугольнике OMP (угол при M прямой, т.к. OM — радиус к касательной) находим $OP=\sqrt{OM^2+PM^2}=\sqrt{6+16x^2}=3\sqrt2$.

Высота из прямого угла: $MQ=\dfrac{MP\cdot OM}{OP}=2$, значит $MN=2MQ=4$.