Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Пусть $DM=BQ=x$ (это равные отрезки касательных из вершин $D$ и $B$ к вписанной окружности), $CM=CQ=y$ — касательные из $C$. Тогда сторона ромба $BC=CD=x+y$.

Так как $BC\parallel AD$, при пересечении секущей $CD$ получаем $\angle PCM=\angle ADM$ (накрест лежащие), а $\angle CMP=\angle DMA$ как вертикальные. Значит $\triangle CMP\sim\triangle DMA$ с коэффициентом $\dfrac{CM}{MD}=\dfrac{y}{x}$, откуда $$CP=\frac{y}{x}\cdot AD=\frac{y(x+y)}{x}.$$

Тогда $$BP=BC+CP=(x+y)+\frac{y(x+y)}{x}=\frac{(x+y)^2}{x}=\frac{BC^2}{BQ}.$$

Отсюда $BP\cdot BQ=BC^2$, что и требовалось.

б) При $DM=1,\ MC=4$ имеем $x=1,\ y=4$, сторону ромба $AB=BC=CD=5$.

В прямоугольном треугольнике $DOC$ (углы $ODM$ и $OCM$ — половины углов ромба, $\angle DOC=90^\circ$) отрезок $OM$ — высота к гипотенузе, поэтому $$r=OM=\sqrt{DM\cdot MC}=\sqrt{1\cdot4}=2,$$ а высота ромба равна $2r=4$.

Опустим перпендикуляр $AH$ на прямую $BC$: $AH=4$ (высота ромба). Из прямоугольного треугольника $ABH$: $$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{25-16}=3.$$

Из подобия $\triangle CMP\sim\triangle DMA$ (как в пункте а) с $x=1,\ y=4$): $$CP=\frac{CM}{MD}\cdot AD=\frac{4}{1}\cdot5=20.$$

Точки $H,B,C,P$ лежат на одной прямой, причём $H$ и $C$ находятся по одну сторону от $P$, поэтому $$PH=BH+BC+CP=3+5+20=28.$$

В прямоугольном треугольнике $APH$: $$\tan\angle APH=\frac{AH}{PH}=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}.$$

Так как $\angle APC=\angle APH$ (луч $PC$ совпадает с лучом $PH$), получаем $$\angle APC=\arctan\frac{1}{7}.$$