Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Через точку $Q$ проведём касательную $QG$ к окружности, а через точку $P$ — диаметр $EF$.

Точка $Q$ лежит вне окружности и является пересечением двух секущих $QAD$ и $QBC$. По теореме о степени точки относительно окружности (произведение отрезков секущей равно квадрату касательной): $$AQ\cdot DQ = QG^2 = QO^2 - R^2.$$ (последнее равенство — теорема Пифагора для прямоугольного треугольника $OGQ$, где $OG=R$).

Точка $P$ лежит внутри окружности, через неё проходят хорды $AC$, $BD$ и диаметр $EF$. По теореме о пересекающихся хордах: $$BP\cdot DP = EP\cdot FP = (R-OP)(R+OP)=R^2-OP^2.$$

Складывая полученные равенства: $$AQ\cdot DQ+BP\cdot DP=(QO^2-R^2)+(R^2-OP^2)=QO^2-OP^2,$$ что и требовалось доказать.

б) Пусть $\angle ADB=\alpha$ — вписанный угол, опирающийся на $AB$. Так как $Q$ — точка пересечения продолжений сторон $BC$ и $AD$, угол $\angle CBD$ является внешним углом треугольника, образованного этими прямыми и хордой $BD$, поэтому по теореме о внешнем угле треугольника $$\angle CBD=\alpha+30^\circ.$$

По теореме синусов для окружности радиуса $R$: хорда, стягивающая вписанный угол, равна $2R\sin(\text{угол})$. Значит, $$CD=2R\sin(\alpha+30^\circ)=6,\qquad AB=2R\sin\alpha=5.$$

Поделив первое равенство на второе, получаем $$\frac{6}{5}=\frac{\sin(\alpha+30^\circ)}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cot\alpha,$$ (раскрыли $\sin(\alpha+30^\circ)=\sin\alpha\cos30^\circ+\cos\alpha\sin30^\circ$ и разделили на $\sin\alpha$).

Отсюда $$\cot\alpha=\frac{12}{5}-\sqrt3=\frac{12-5\sqrt3}{5}.$$

Используя тождество $\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=1+\cot^2\alpha$, находим $$\frac1{\sin^2\alpha}=1+\left(\frac{12-5\sqrt3}{5}\right)^2=\frac{244-120\sqrt3}{25}.$$

Таким образом $\dfrac1{\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{244-120\sqrt3}}{5}$, и из $AB=2R\sin\alpha=5$ получаем $$R=\frac{5}{2\sin\alpha}=\frac{\sqrt{244-120\sqrt3}}{2}.$$

Возводя в квадрат и приводя дробь, получаем $$R^2=\frac{244-120\sqrt3}{4}=61-30\sqrt3,$$ $$R=\sqrt{61-30\sqrt3}.$$