Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AB\parallel CD$, поэтому при пересечении секущей $DE$ этих прямых накрест лежащие углы равны: $\angle AED=\angle EDC$. По условию $DE$ — биссектриса угла $ADC$, значит $\angle ADE=\angle EDC$. Отсюда $\angle AED=\angle ADE$, то есть треугольник $ADE$ равнобедренный: $AD=AE$.

Отрезки касательных из одной точки к окружности равны, поэтому $AK=AT$ — треугольник $AKT$ тоже равнобедренный, причём его угол при вершине $A$ совпадает с углом $\angle DAE$ треугольника $ADE$. Из равенства $\dfrac{AK}{AE}=\dfrac{AT}{AD}$ следует подобие $\triangle ATK\sim\triangle ADE$ по двум сторонам и углу между ними. Значит соответствующие углы равны: $\angle ATK=\angle ADE$. Эти углы — соответственные при прямых $KT$ и $DE$ и секущей $AD$, поэтому $KT\parallel DE$.

б) Пусть окружность касается $DE$ в точке $M$. В равнобедренном треугольнике $ADE$ (с $AD=AE$) точка касания вписанной окружности с основанием делит его пополам: $DM=ME$. Пусть $DM=x$. Тогда, по равенству касательных из $D$, $DT=DM=x$, а $AT=AD-DT=6-x$.

Из подобия $\triangle ATK\sim\triangle ADE$ (доказанного в пункте а) получаем $$\frac{AT}{AD}=\frac{TK}{DE}\ \Rightarrow\ \frac{6-x}{6}=\frac{3}{2x}.$$ Решая уравнение: $2x(6-x)=18 \Rightarrow x^2-6x+9=0 \Rightarrow (x-3)^2=0 \Rightarrow x=3$.

Тогда $DE=2x=6$, а значит $AD=AE=DE=6$ — треугольник $ADE$ равносторонний, и $\angle ADE=60^\circ$.

Так как точка $E$ лежит на прямой $AB$, угол $\angle EAD$ совпадает с углом $\angle BAD$. Поэтому $\angle BAD=60^\circ$.