Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) По условию $AP:PD=1:3$, значит $AP:AD=1:4$, то есть $AP=\dfrac{AD}{4}$. Точка $O$ — центр окружности, значит середина диаметра $AD$, поэтому $AO=\dfrac{AD}{2}$. Сравнивая, получаем $AP:AO=1:2$, то есть $AP=\dfrac{AO}{2}$ — это и означает, что $P$ делит $AO$ пополам.

б) Радиус $R=2\sqrt7$, поэтому $OA=OB=2\sqrt7$. В треугольнике $ABO$ угол $\angle BAO=\angle BAD=60^\circ$, а $AO=OB$, значит треугольник равнобедренный с углом $60^\circ$ при основании — следовательно, он равносторонний, и $AB=2\sqrt7$.

Так как $P$ — середина $AO$ (по пункту а), отрезок $BP$ является медианой равностороннего треугольника, а в равностороннем треугольнике медиана совпадает с высотой. Значит $BP\perp AD$, и по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABP$: $$BP^2=AB^2-AP^2=28-7=21,\qquad BP=\sqrt{21}.$$

По симметрии трапеции относительно перпендикуляра к $AD$ через $O$ сторона $BC$ параллельна $AD$ и её длина равна $2\cdot PO=2\sqrt7$ (где $PO=AO-AP=\sqrt7$). Из прямоугольного треугольника $PBC$ (угол при $B$ прямой, так как $BC\parallel AD$ и $BP\perp AD$): $$PC^2=BC^2+BP^2=28+21=49,\qquad PC=7.$$

Применим свойство пересекающихся хорд для точки $P$: $AP\cdot PD=EP\cdot PC$. Так как $AP=\sqrt7$, $PD=3\sqrt7$, получаем $$EP\cdot 7=\sqrt7\cdot3\sqrt7=21\ \Rightarrow\ EP=3.$$

Поскольку точки $E, P, C$ лежат на одной прямой, угол $\angle EPB$ смежен (равен по синусу) с углом $\angle BPC$. Из координатного или тригонометрического расчёта треугольника $BPC$ находим $$\sin\angle BPC=\dfrac{2\sqrt7}{7}=\sin\angle EPB.$$

Теперь вычисляем площадь треугольника $BPE$ по формуле «половина произведения сторон на синус угла между ними»: $$S_{BPE}=\frac12\cdot EP\cdot BP\cdot\sin\angle EPB=\frac12\cdot3\cdot\sqrt{21}\cdot\frac{2\sqrt7}{7}=3\sqrt3.$$