Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Хорды $BC$ и $CD$ равны, поэтому равны и опирающиеся на них вписанные углы: $\angle BAC=\angle DAC$ (эти углы опираются на $BC$ и $CD$ соответственно). Также вписанные углы $\angle ADB$ и $\angle ACB$ опираются на одну дугу $AB$, значит $\angle ADP=\angle ADB=\angle ACB$. В треугольниках $ADP$ и $ACB$ совпадают по два угла ($\angle DAP=\angle BAC$ и $\angle ADP=\angle ACB$), значит они подобны. Отсюда $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{DP}{CB}$, а из равенства $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{DP}{CB}$ получаем $AB:BC=AP:PD$.

б) Так как $BD$ — диаметр, то $\angle BAD=\angle BCD=90^\circ$ (угол, опирающийся на диаметр). В прямоугольном треугольнике $BCD$ $BC=CD=6\sqrt2$, поэтому $BD=BC\sqrt2=12$.

В треугольнике $ABD$ катет $AB=6=\dfrac{BD}{2}$, значит $\angle ADB=30^\circ$, $\angle ABD=60^\circ$.

По доказанному в пункте а) $AC$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABD$, следовательно центр вписанной окружности $O$ лежит на $AC$.

Поскольку $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на одну дугу $AD$, $\angle ACD=\angle ABD=60^\circ$.

$O$ лежит и на биссектрисе угла $D$, поэтому $\angle ODB=\dfrac12\angle ADB=15^\circ$. В треугольнике $BCD$ (равнобедренном, прямоугольном при $C$) $\angle BDC=45^\circ$, значит $\angle ODC=\angle ODB+\angle BDC=15^\circ+45^\circ=60^\circ$.

Таким образом в треугольнике $COD$ углы $O C D=60^\circ$ и $ODC=60^\circ$, значит он равносторонний со стороной $CD=6\sqrt2$.

Площадь равностороннего треугольника: $S=\dfrac{\sqrt3}{4}CD^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot(6\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot72=18\sqrt3$.