Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Углы $\angle CED$ и $\angle CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$, поэтому они равны: $\angle CED=\angle CBD$. Так как $BD$ — диагональ квадрата, $\angle CBD=45^\circ$, а диагонали квадрата делят его углы пополам, значит и $\angle BDC=45^\circ$. Итого $\angle CED=\angle CDK=45^\circ$.

В треугольниках $CKD$ и $CDE$ угол $\angle KCD$ — общий (это угол между хордой $CE$ и диагональю $CD$, он же входит в оба треугольника). Значит, по признаку подобия по двум углам $\triangle CKD\sim\triangle CDE$.

Из подобия следует пропорция сторон, лежащих против равных углов: $$\frac{CK}{CD}=\frac{CD}{CE}\;\Rightarrow\; CK\cdot CE=CD^2.$$ Поскольку $ABCD$ — квадрат, $CD=AB$, поэтому $CD^2=AB\cdot CD$, то есть $$CK\cdot CE=AB\cdot CD,$$ что и требовалось доказать.

б) По условию $\angle KCD=15^\circ$, а $\angle CDK=45^\circ$ (как и в пункте а). Сумма углов треугольника $CKD$ равна $180^\circ$, поэтому $$\angle CKD=180^\circ-15^\circ-45^\circ=120^\circ.$$

Применим теорему синусов в треугольнике $CKD$: $$\frac{CK}{\sin\angle CDK}=\frac{CD}{\sin\angle CKD}\;\Rightarrow\;\frac{CK}{CD}=\frac{\sin45^\circ}{\sin120^\circ}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}.$$

Из подобия треугольников (пункт а) имеем $\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CK}{CD}$, значит $$\frac{CE}{CD}=\frac{1}{CK/CD}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.$$

Теперь найдём отношение $CK$ к $CE$, разделив полученные пропорции: $$\frac{CK}{CE}=\frac{CK/CD}{CE/CD}=\frac{\sqrt{2/3}}{\sqrt{3/2}}=\frac{2}{3}.$$

Таким образом $CK:CE=2:3$. Так как $K$ лежит на отрезке $CE$, то $KE=CE-CK$, и $$CK:KE=CK:(CE-CK)=2:(3-2)=2:1.$$