Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

Обозначим точку касания вписанной окружности с основанием AD через P. По свойству касательной и секущей $AP^2=AN\cdot AM$. Так как $AM=AN+NM=4+12=16$, получаем $AP^2=4\cdot16=64$, значит $AP=8$. По симметрии вписанной окружности в равнобедренной трапеции точка P — середина AD, поэтому $AD=2AP=16$.

Так как $AD=AM=16$, треугольник $ADM$ равнобедренный, откуда $\angle AMD=\angle ADM$. Прямые $BC\parallel AD$, а $CD$ — секущая, значит $\angle ADM=\angle MCK$ как накрест лежащие. Следовательно, $\angle AMD=\angle MCK$, что и требовалось доказать.

По равенству отрезков касательных из точки D: $MD=PD=AD-AP=16-8=8$. Пусть $Q$ — точка касания окружности с $BC$, и $CM=CQ=x$ (равенство касательных из C). Треугольники $ADM$ и $KCM$ подобны (по равным углам из пункта а), поэтому $\dfrac{AD}{KC}=\dfrac{DM}{CM}=\dfrac{8}{x}$... из этого следует $\dfrac{KC}{CM}=\dfrac{AD}{DM}=2$, то есть $KC=2x$.

По теореме о касательной и секущей из точки K: $KQ^2=KM\cdot KN$. Здесь $KQ=KC+CQ=3x$, $KM=KC+CM=2x+x=...$ подставляя значения, получаем уравнение $(2x+x)^2=2x(2x+12)$, то есть $9x^2=4x^2+24x$, откуда $5x^2=24x$, и при $x>0$ $x=\dfrac{24}{5}$.

Таким образом, $BC=2x=\dfrac{48}{5}$, а $AD=16$.