Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Для описанного четырёхугольника сумма противоположных сторон равна: для трапеции $BMNA$ — $BM+AN=AB+MN$, для трапеции $MCDN$ — $MC+ND=CD+MN$. Так как $M$ и $N$ — середины оснований, $BM=MC$ и $AN=ND$. Вычитая равенства, получаем $AB=CD$ — трапеция $ABCD$ равнобедренная.

б) Окружность, вписанная в $BMNA$, касается обеих параллельных сторон $BM$ и $AN$, значит расстояние между ними (высота $BMNA$) равно диаметру: $2\cdot3=6$. Из симметрии равнобедренной трапеции $MN$ — её ось, поэтому $MN$ является высотой всей трапеции $ABCD$, $MN=6$.

Пусть $AN=t$, тогда $BM=BC/2=4$. Из условия описанности $BMNA$: $AB+MN=BM+AN$, откуда $AB=t-2$. Опустив высоту $BK=6$, получаем $AK=t-4$, и по теореме Пифагора $(t-2)^2=36+(t-4)^2$. Решая, $t=12$, $AB=10$.

Пусть $O$ — центр окружности радиуса 3 (вписанной в $BMNA$), $O_1$ — центр искомой окружности радиуса $r$, $T,T_1$ — их проекции на $AB$. Из квадрата $OLMH$ (сторона 3) находим $BT=1$, $AT=9$. Из подобия треугольников $ATO\sim AT_1O_1$ получаем $AT_1=3r$, значит $TT_1=9-3r$.

Опуская перпендикуляр $O_1G$ на $OT$, получаем прямоугольный треугольник с ногами $OG=3-r$ и $GO_1=TT_1=9-3r$, а гипотенуза $OO_1=3+r$ (сумма радиусов касающихся окружностей). Составляем уравнение: $$(9-3r)^2+(3-r)^2=(3+r)^2.$$ Раскрывая и приводя, получаем $3r^2-22r+27=0$, откуда $r=\dfrac{11\pm2\sqrt{10}}{3}$. Так как $r<3$, подходит $r=\dfrac{11-2\sqrt{10}}{3}$.