Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Перпендикулярность AC и BD. Пусть диагонали пересекаются в точке $M$. Так как в четырёхугольник ABCD вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: $AB+CD=BC+AD=s$ (свойство описанного четырёхугольника). Обозначим $AB=x$, $BC=y$, тогда $CD=s-x$, $AD=s-y$.

AC — диаметр окружности, значит вписанные углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$, опирающиеся на диаметр, прямые. По теореме Пифагора для треугольников ABC и ADC: $$AC^2=x^2+y^2,\qquad AC^2=(s-x)^2+(s-y)^2.$$ Приравнивая и раскрывая скобки, получаем $x+y=s$, то есть $AB=AD$ и $BC=CD$.

Теперь треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC и равные пары сторон $AB=AD$, $BC=CD$ — значит они равны по третьему признаку. Отсюда $\angle ACB=\angle ACD$, то есть CM — биссектриса угла BCD в треугольнике BCD. В равнобедренном (по построению стороны AB=AD, BC=CD относительно оси AC) четырёхугольнике биссектриса угла C одновременно служит высотой и медианой к стороне BD, значит $CM\perp BD$, то есть $AC\perp BD$.

б) Нахождение радиуса. Центр описанной окружности O лежит на середине AC, радиус $OB=\frac12 AC=13$. В прямоугольном треугольнике OBM (M — середина BD, так как CM — медиана) $BM=\frac12 BD=12$, поэтому $$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{169-144}=5.$$ Пусть $AM<MC$, тогда $AM=13-5=8$, $MC=13+5=18$.

В прямоугольном треугольнике ABC с высотой BM к гипотенузе AC выполняется соотношение $\cos\angle BAM=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$, откуда $AB^2=AM\cdot AC=8\cdot26=208$, значит $AB=4\sqrt{13}$. Аналогично для треугольника с $MC$: $BC^2=MC\cdot AC=18\cdot26=468$, значит $BC=6\sqrt{13}$.

Так как $AB=AD$, $BC=CD$, полупериметр $s=AB+BC=10\sqrt{13}$.

Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна $S=\dfrac12\cdot AC\cdot BD=\dfrac12\cdot26\cdot24=312$.

Для описанного многоугольника $S=r\cdot s$, поэтому $$r=\dfrac{S}{s}=\dfrac{312}{10\sqrt{13}}=\dfrac{312}{10\sqrt{13}}\cdot\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\dfrac{312\sqrt{13}}{130}=\dfrac{12\sqrt{13}}{5}.$$