Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

Пусть $AN=4x$. По условию $\dfrac{DN}{AN}=1+\dfrac{3}{2\sqrt2}$, значит $DN=4x+3\sqrt2\,x$. Тогда $AD=BC=AN+DN=8x+3\sqrt2\,x$, а из $\dfrac{BC}{AB}=\sqrt2$ получаем $AB=CD=\dfrac{BC}{\sqrt2}=4\sqrt2\,x+3x$.

В четырёхугольнике $BCDN$ есть вписанная окружность, значит суммы противоположных сторон равны: $BC+DN=CD+BN$. Отсюда $BN=BC+DN-CD=9x+2\sqrt2\,x$.

В треугольнике $ABN$ по теореме косинусов находим $\cos A=\dfrac{AN^2+AB^2-BN^2}{2\,AN\cdot AB}$. Подставив выражения через $x$, после упрощения получаем $\cos A=-\dfrac{\sqrt2}{2}$, то есть $\angle A=135^\circ$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $\angle C=\angle A=135^\circ$, $\angle B=\angle D=180^\circ-135^\circ=45^\circ$.

Высота из $C$ на прямую $AD$ образует с $CD$ угол $90^\circ-\angle D=45^\circ$, а высота из $C$ на прямую $AB$ образует с $CB$ угол $90^\circ-\angle B=45^\circ$. Так как $\angle BCD=135^\circ=45^\circ+45^\circ+45^\circ$, эти две высоты делят угол $BCD$ ровно на три равные части по $45^\circ$ — что и требовалось доказать.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, $BC\parallel AD$, а значит $BC\parallel DN$: четырёхугольник $BCDN$ — трапеция с основаниями $BC$ и $DN$. Для тангенциальной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности: $h=2R$, где $h$ — расстояние между $BC$ и $AD$, то есть высота $CH$, опущенная из $C$ на $AD$.

Найдём $CD$ через данное $AC=2$. В треугольнике $ACD$ известен угол $D=45^\circ$, а стороны $AD=8x+3\sqrt2 x$, $CD=4\sqrt2 x+3x$. По теореме косинусов $AC^2=AD^2+CD^2-2\,AD\cdot CD\cos45^\circ$. Подставив выражения через $x$ и упростив, получаем $x=\dfrac{2}{4\sqrt2+3}$, откуда $CD=x(4\sqrt2+3)=2$.

Тогда высота $CH=CD\sin45^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\sqrt2$. Так как $CH=2R$, получаем $R=\dfrac{\sqrt2}{2}$.