Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AE\parallel CD$ (E лежит на прямой $AB$). $DE$ — биссектриса угла $ADC$, поэтому $\angle ADE=\angle CDE$. Из параллельности $AE\parallel CD$ по накрест лежащим углам $\angle AED=\angle CDE$. Значит, $\angle AED=\angle ADE$, и треугольник $ADE$ равнобедренный: $AD=AE$.

Отрезки касательных из вершины $A$ к вписанной окружности равны: $AK=AT$, поэтому треугольник $ATK$ тоже равнобедренный с тем же углом при вершине $A$, что и у треугольника $ADE$. У подобных по форме равнобедренных треугольников с общим углом при вершине равны и углы при основании: $\angle ATK=\angle ADE$. Эти углы соответственные при пересечении прямых $AD$ секущей, значит $KT\parallel DE$.

б) Пусть окружность касается $DE$ в точке $M$. Из равенства отрезков касательных ($DT=DM$, $EK=EM$, $AT=AK$) и равенства $AD=AE$ следует $DM=EM$, то есть $M$ — середина $DE$. Обозначим $DM=x$, тогда $DE=2x$, $DT=x$, $AT=AD-DT=8-x$.

Поскольку $KT\parallel DE$, треугольники $ATK$ и $ADE$ подобны (общий угол $A$), значит $$\frac{AT}{AD}=\frac{TK}{DE}\ \Rightarrow\ \frac{8-x}{8}=\frac{4}{2x}.$$ Отсюда $2x(8-x)=32$, $x^2-8x+16=0$, $(x-4)^2=0$, $x=4$.

Тогда $DE=2x=8=AD$, то есть треугольник $ADE$ равносторонний, и $\angle BAD=\angle EAD=60^\circ$.