Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Так как $K$ — середина $BC$, отрезок $AK$ — медиана треугольника $ABC$, поэтому $S_{ABK}=\tfrac12 S_{ABC}$. Аналогично $BO$ — медиана этого же треугольника (O — середина $AC$), значит $S_{ABO}=\tfrac12 S_{ABC}=S_{ABK}$. Вычитая общую часть $S_{ABP}$ из обоих равных треугольников, получаем $S_{APO}=S_{BPK}$. Точно так же, рассматривая треугольник $ADC$ с медианами $AL$ и $DO$, получаем $S_{AOQ}=S_{DLQ}$. Так как $O\in PQ$, $S_{APQ}=S_{APO}+S_{AOQ}=S_{BPK}+S_{DLQ}$, что и требовалось.

б) $P,Q$ — центроиды треугольников $ABC,ADC$, поэтому $BP=2PO$, $DQ=2QO$; пусть $PO=OQ=x$, тогда $BP=DQ=2x$, $BO=OD=3x$. Сторона $BK=3\sqrt5$, и $\cos\angle PBK=\dfrac{BO}{BC}=\dfrac{3x}{6\sqrt5}$ (так как диагонали ромба перпендикулярны, $\triangle OBC$ прямоугольный). По теореме косинусов в $\triangle PBK$: $$PK=\sqrt{BK^2+BP^2-2\cdot BK\cdot BP\cos\angle PBK}=\sqrt{45-2x^2}.$$ Окружность, вписанная в пятиугольник, вписана и в четырёхугольник $CKPD$, поэтому по теореме Пито $PK+CD=PD+KC$: $$\sqrt{45-2x^2}+6\sqrt5=4x+3\sqrt5\Rightarrow \sqrt{45-2x^2}=4x-3\sqrt5.$$ Возводя в квадрат: $18x^2=24\sqrt5x\Rightarrow x=\dfrac{4\sqrt5}{3}$, значит $BO=3x=4\sqrt5$, $BD=8\sqrt5$. По теореме Пифагора $OC=\sqrt{BC^2-BO^2}=\sqrt{180-80}=10$. Та же окружность вписана и в треугольник $BCD$: $$r=\dfrac{S_{BCD}}{p}=\dfrac{\tfrac12\cdot OC\cdot BD}{\tfrac12(BC+CD+BD)}=\dfrac{40\sqrt5}{10\sqrt5}=4.$$