Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

Часть а)

Обозначим трапецию ABCD с боковыми сторонами AB и CD. Пусть M и N — середины этих боковых сторон соответственно. По условию окружности, построенные на AB и CD как на диаметрах, касаются в точке O.

Радиусы этих окружностей равны $\frac{AB}{2}$ и $\frac{CD}{2}$. Поскольку окружности касаются, точка O лежит на отрезке MN, и справедливо: $$MO + ON = MN$$

Тогда $MO = \frac{AB}{2}$ и $ON = \frac{CD}{2}$, поэтому: $$MN = \frac{AB + CD}{2}$$

Но MN — средняя линия трапеции, которая равна полусумме оснований: $$MN = \frac{BC + AD}{2}$$

Сравнивая эти выражения: $$AB + CD = BC + AD$$

Это условие вписанности четырёхугольника в окружность. ✓

Часть б)

По свойству вписанной окружности, точка O — её центр, а отрезки AO и DO — биссектрисы углов A и D трапеции. Угол AOD как центральный угол, под которым видна большая база AD, составляет: $$\angle AOD = 180° - \frac{\angle A + \angle D}{2}$$

По условию $\angle AOD = 120°$, следовательно: $$\frac{\angle A + \angle D}{2} = 60°, \quad \angle A + \angle D = 120°$$

Отметим на AD точки P и Q так, что $AP = AM = \frac{3}{2}$ и $QD = ND = 4$. Тогда $\angle POQ = 60°$. По теореме косинусов в треугольнике POQ: $$PQ^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 4^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot \cos 60°$$ $$PQ^2 = \frac{9}{4} + 16 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{4} + 16 - 6 = \frac{49}{4}$$ $$PQ = \frac{7}{2}$$

Тогда: $$AD = AP + PQ + QD = \frac{3}{2} + \frac{7}{2} + 4 = 9$$

Используя условие вписанности: $$BC = AB + CD - AD = 3 + 8 - 9 = 2$$