Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Пусть $C$ и $D$ — центры окружностей, построенных на $KL$ и $MN$ как на диаметрах. По определению центр окружности, построенной на отрезке как на диаметре, — это середина этого отрезка. Значит, $C$ — середина $KL$, $D$ — середина $MN$, а отрезок $CD$, соединяющий середины боковых сторон трапеции, есть её средняя линия.

Для двух пересекающихся окружностей известно свойство: прямая, соединяющая их центры, перпендикулярна общей хорде и делит её пополам. Общая хорда здесь — отрезок $AB$ (точки пересечения окружностей). Значит, линия центров $CD$ перпендикулярна $AB$ и проходит через его середину, то есть $CD$ — серединный перпендикуляр к $AB$. Так как $CD$ — средняя линия трапеции, утверждение доказано.

б) Пусть $H$ — середина $AB$. Тогда $AH$ — высота треугольника $CAD$, опущенная на сторону $CD$ (так как $CD\perp AB$ по доказанному в пункте а).

Найдём стороны треугольника $CAD$: $CD$ равна средней линии трапеции, то есть $CD=15$. Так как $A$ лежит на окружности с диаметром $KL$, а $C$ — центр этой окружности, то $AC$ — радиус: $AC=\dfrac12 KL=\dfrac12\cdot28=14$. Аналогично $AD=\dfrac12 MN=\dfrac12\cdot26=13$.

Теперь по формуле Герона находим площадь треугольника со сторонами $13,14,15$. Полупериметр: $$p=\frac{13+14+15}{2}=21.$$ Площадь: $$S=\sqrt{p(p-13)(p-14)(p-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.$$

Высота, опущенная на сторону $CD$, связана с площадью формулой $S=\dfrac12\cdot CD\cdot AH$, откуда $$AH=\frac{2S}{CD}=\frac{2\cdot84}{15}=\frac{168}{15}=11,2.$$

Поскольку $H$ — середина $AB$, получаем $$AB=2AH=2\cdot11,2=22,4.$$