Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Существование вписанной окружности

Диагонали делят четырёхугольник на 4 прямоугольных треугольника (угол между диагоналями прямой), и по условию все они подобны.

В треугольниках $ABO$ и $COD$ угол при $O$ прямой, значит острые углы дополняют друг друга до $90^\circ$. Если бы $\angle BAO=\angle DCO$, то $AB\parallel CD$ — противоречие условию. Поэтому из подобия следует $\angle BAO=\angle ODC$.

По условию четыре треугольника подобны, значит углы $\angle ODC$ совпадает либо с $\angle ODA$, либо с $\angle OAD$. Аналогично, чтобы не получить $AD\parallel BC$, берём $\angle ODC=\angle ODA$. Тогда из подобия $\triangle AOD\sim\triangle BOC$ получаем $\angle ODA=\angle OCB$ (иначе $BC\parallel AD$).

Таким образом в треугольнике $ABC$ углы при $A$ и $C$ равны ($\angle BAO=\angle ODC=\angle OCB$), значит $AB=BC$. А в треугольнике $ADC$ отрезок $DO$ одновременно высота и биссектриса (угол $ODA=\angle ODC$, а $DO\perp AC$), поэтому $\triangle ADO=\triangle CDO$ и $AD=DC$.

Отсюда $AB+CD=BC+AD$ — это ровно условие существования вписанной окружности (теорема Пито). Значит окружность вписать можно.

б) Нахождение радиуса

Поскольку $\angle BAO+\angle OAD=\angle BAD$, а $\angle BAO=\angle ODC=\angle ODA$, получаем $$\angle BAD=\angle BAO+\angle OAD=\angle ODA+(90^\circ-\angle ODA)=90^\circ.$$ Значит треугольник $ABD$ прямоугольный с гипотенузой $BD=13$. Точка $O$ — основание высоты из $A$ на $BD$ (так как $AC\perp BD$), и по свойству высоты в прямоугольном треугольнике $AO^2=BO\cdot OD$, а сама высота равна $AO$. Из данных $AC=12$, $BD=13$ и того, что $AO+OC=12$, можно найти $AO=6$ (высота к гипотенузе делит площадь так, что $S=\frac12\cdot BD\cdot AO=\frac12\cdot AB\cdot AD$).

Пусть $AB=b$, $AD=d$. По теореме Пифагора $b^2+d^2=169$. Площадь треугольника $ABD$ двумя способами: $$\frac12\cdot BD\cdot AO=\frac12\cdot b\cdot d\ \Rightarrow\ bd=13\cdot6=78.$$

Пусть радиус вписанной окружности $r=EF$, где $F$ — точка касания на $AB$. Из подобия треугольников $FBE$ и $ABD$ (оба прямоугольные, с общим острым углом при $B$): $$\frac{b-r}{r}=\frac{b}{d}\ \Rightarrow\ r=\frac{bd}{b+d}.$$

Найдём $b+d$: $(b+d)^2=b^2+d^2+2bd=169+156=325=25\cdot13$, значит $b+d=5\sqrt{13}$.

Отсюда $$r=\frac{78}{5\sqrt{13}}=\frac{78\sqrt{13}}{5\cdot13}=\frac{6\sqrt{13}}{5}.$$