Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Продлим $AK$ за точку $K$ и $BC$ за точку $C$ до пересечения в точке $M$. Так как $O$ — центр вписанной окружности, $AO$ — биссектриса угла $A$, значит $\angle BAM=\angle DAM$. Из параллельности $BC\parallel AD$ следует, что $\angle AMB=\angle DAM$ (накрест лежащие), значит $\angle AMB=\angle BAM$, то есть треугольник $ABM$ равнобедренный: $AB=BM$.

Пусть $BC=2x,\ AD=2y$. Для описанной трапеции $AB+CD=BC+AD$, а из равнобедренности $AB=CD$, поэтому $2AB=2x+2y\Rightarrow AB=x+y$. Тогда $CM=BM-BC=x+y-2x=y-x$.

Отрезки касательных из одной точки равны, значит $CK=CL=\dfrac12BC=x$, а $KD=CD-CK=(x+y)-x=y$.

Треугольники $CKM$ и $DKA$ подобны (вертикальные углы при $K$, $CM\parallel AD$ дают равные накрестлежащие углы), поэтому $\dfrac{CM}{DA}=\dfrac{CK}{KD}$, то есть $\dfrac{y-x}{2y}=\dfrac{x}{y}\Rightarrow y-x=2x\Rightarrow y=3x$.

Следовательно $BC:AD=2x:2y=2x:6x=1:3$.

б) Прямоугольные треугольники $APH$ и $MPC$ подобны, поэтому $\dfrac{AP}{MP}=\dfrac{AH}{MC}=\dfrac{\frac12AD+\frac12BC}{y-x}=\dfrac{y+x}{y-x}=\dfrac{4x}{2x}=2$, откуда $\dfrac{AP}{AM}=\dfrac23$.

Из подобия $AQD\sim CQB$ получаем $\dfrac{AQ}{CQ}=\dfrac{AD}{CB}=3\Rightarrow \dfrac{AQ}{AC}=\dfrac34$.

Площади треугольников с общим углом пропорциональны произведению сторон, образующих этот угол, значит для $\triangle APQ$ и $\triangle AMC$ (общий угол при $A$): $$\dfrac{S_{APQ}}{S_{AMC}}=\dfrac{AP\cdot AQ}{AM\cdot AC}=\dfrac23\cdot\dfrac34=\dfrac12.$$

Так как $S_{AMC}=\dfrac12\,CH\cdot CM=\dfrac12\,CH(y-x)=xCH$, а $S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}{2}\,CH=(x+y)CH=4xCH$, получаем $$\dfrac{S_{APQ}}{S_{ABCD}}=\dfrac{\frac12 S_{AMC}}{S_{ABCD}}=\dfrac{\frac12 xCH}{4xCH}=\dfrac18.$$