Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Заметим, что $27^{x}-3\cdot9^{x+1}+3^{x+5}-729=3^{3x}-27\cdot3^{2x}+243\cdot3^{x}-729=(3^{x}-9)^{3}$ — это разложение куба разности $(a-9)^3=a^3-27a^2+243a-729$ при $a=3^x$.

Знаменатель: $50x^{2}+10x+0{,}5=\dfrac12(100x^{2}+20x+1)=\dfrac12(10x+1)^{2}$ — тоже полный квадрат.

Неравенство принимает вид $\dfrac{(3^{x}-9)^{3}}{\dfrac12(10x+1)^{2}}\le0$, т.е. (умножив обе части на положительное число 2) $\dfrac{(3^{x}-9)^{3}}{(10x+1)^{2}}\le0$, при этом $x\ne-\dfrac{1}{10}$ (знаменатель не равен нулю).

Так как основание $3>1$, разность $3^{x}-3^{2}$ имеет тот же знак, что и $x-2$ (при возрастании показательной функции знак разности степеней совпадает со знаком разности показателей). Значит $(3^{x}-9)^{3}$ имеет тот же знак, что и $(x-2)^{3}$.

Получаем равносильное рациональное неравенство $\dfrac{(x-2)^{3}}{(10x+1)^{2}}\le0$.

Знаменатель — квадрат, он всегда $\ge0$ и равен нулю только при $x=-\dfrac1{10}$ (эта точка исключена). Значит знак дроби определяется числителем: нужно $(x-2)^3\le0$, т.е. $x\le2$.

Объединяя с условием $x\ne-\dfrac1{10}$, получаем ответ.