Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Заменим 4 на степень двойки: $4=2^2$, поэтому правую часть можно записать как $4\cdot 2^{x}=2^{2}\cdot 2^{x}=2^{x+2}$ (свойство $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$).

Теперь неравенство выглядит так: $2^{x^{2}}\le 2^{x+2}$.

Основание степени $2>1$, значит показательная функция $y=2^{t}$ строго возрастает. Для возрастающей функции неравенство между значениями равносильно такому же неравенству между аргументами (показателями). Поэтому переходим к неравенству показателей: $$x^{2}\le x+2.$$

Переносим всё в одну сторону: $$x^{2}-x-2\le 0.$$

Решаем квадратное неравенство. Найдём корни уравнения $x^{2}-x-2=0$ через дискриминант: $D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9$, $\sqrt{D}=3$. $$x=\dfrac{1\pm3}{2}\Rightarrow x_1=-1,\; x_2=2.$$

Парабола $y=x^{2}-x-2$ имеет ветви вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), поэтому она отрицательна (и равна нулю на границах) между корнями: $$-1\le x\le 2.$$

Таким образом решение исходного неравенства — отрезок $[-1;2]$.