Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

1. Заметим, что $2^{-x}=\dfrac{1}{2^x}$, поэтому исходное неравенство $$2^x+6\cdot2^{-x}\le7$$ сводится к выражению через одну переменную.

2. Введём замену $y=2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y>0$. Неравенство принимает вид $$y+\dfrac{6}{y}\le7.$$

3. Умножаем обе части на $y$ — это законно, потому что $y>0$ и знак неравенства не меняется: $$y^2+6\le7y \quad\Longleftrightarrow\quad y^2-7y+6\le0.$$

4. Разложим квадратный трёхчлен на множители, найдя корни $y=1$ и $y=6$: $$(y-1)(y-6)\le0.$$ По свойству параболы с положительным коэффициентом при $y^2$, произведение $(y-1)(y-6)$ отрицательно (или равно нулю) между корнями, то есть $$1\le y\le6.$$

5. Возвращаемся к переменной $x$, подставляя $y=2^x$: $$1\le2^x\le6.$$ Поскольку функция $2^x$ строго возрастает, можно применить логарифм по основанию 2 к каждой части неравенства, сохранив направление знаков: $$\log_2 1\le x\le\log_2 6 \quad\Longrightarrow\quad 0\le x\le\log_2 6.$$

Таким образом, множество решений — отрезок $[0;\log_2 6]$.