Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Шаг 1. Приводим степени к общему основанию. Запишем $2^{2x-1}=\dfrac{1}{2}\cdot 2^{2x}$ и $2^{x-1}=\dfrac{1}{2}\cdot 2^{x}$ (свойство $a^{m-n}=a^m/a^n$). Подставим в неравенство: $$\frac12\cdot 2^{2x}-7\cdot\frac12\cdot 2^{x}+5\le 0.$$ Умножим обе части на 2 (знак неравенства не меняется, так как множитель положительный): $$2^{2x}-7\cdot2^{x}+10\le 0.$$

Шаг 2. Замена переменной. Так как $2^{2x}=(2^x)^2$, вводим $t=2^x>0$. Неравенство становится квадратным: $$t^2-7t+10\le 0.$$

Шаг 3. Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения $t^2-7t+10=0$: $t=2$ и $t=5$ (по теореме Виета: сумма 7, произведение 10). Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $$2\le t\le 5.$$ Учитывая, что $t>0$, оба значения допустимы.

Шаг 4. Возвращаемся к переменной $x$. Подставляем $t=2^x$: $$2\le 2^x\le 5.$$ Поскольку функция $y=2^x$ монотонно возрастает, неравенство сохраняет направление при переходе к показателям через логарифм по основанию 2: $$\log_2 2\le x\le \log_2 5,$$ то есть $$1\le x\le \log_2 5.$$

Ответ: $x\in[1;\ \log_2 5]$.