Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Заметим, что $\left(\dfrac{1}{6}\right)^x=\dfrac{1}{6^x}$, поэтому неравенство принимает вид $$6^{x}+\dfrac{1}{6^{x}}>2.$$

Введём замену $t=6^{x}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $t>0$ при любом $x$. Неравенство превращается в $$t+\dfrac1t>2.$$

Так как $t>0$, можно умножить обе части на $t$, не меняя знак неравенства: $$t^{2}+1>2t \quad\Longleftrightarrow\quad t^{2}-2t+1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad (t-1)^{2}>0.$$

Квадрат числа больше нуля всегда, кроме случая, когда он равен нулю. Значит неравенство $(t-1)^2>0$ выполняется для всех $t>0$, кроме $t=1$.

Возвращаемся к переменной $x$: условие $t\neq 1$ означает $6^{x}\neq 1$. Так как $6^{0}=1$ и показательная функция $6^x$ строго монотонна (взаимно однозначна), равенство $6^x=1$ возможно только при $x=0$.

Следовательно, исходное неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=0$: $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$