Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Заметим, что все степени двойки удобно привести к общему основанию $2^x$.

Раскрываем показатели: $2^{2x+4}=2^4\cdot(2^x)^2=16\cdot4^x$, $16\cdot2^{x+3}=16\cdot8\cdot2^x=128\cdot2^x$, $2^{x+1}=2\cdot2^x$.

Подставляя, неравенство принимает вид: $$16\cdot4^x-128\cdot2^x-2\cdot2^x+16\le0,$$ $$16\cdot4^x-130\cdot2^x+16\le0.$$

Делим обе части на 2 (знак не меняется, так как делим на положительное число): $$8\cdot4^x-65\cdot2^x+8\le0,$$ что можно записать как $2^3\cdot4^x-(2^6+1)\cdot2^x+2^3\le0$ — так удобнее видеть структуру.

Делим ещё на $2^3=8$: $$4^x-\left(8+\frac18\right)2^x+1\le0.$$

Вводим замену $t=2^x>0$. Получаем квадратное неравенство: $$t^2-\left(8+\frac18\right)t+1\le0.$$

Замечаем, что корни этого квадратного трёхчлена — числа $8$ и $\frac18$, так как их произведение равно $1$, а сумма равна $8+\frac18$. Значит, разложение имеет вид: $$(t-8)\left(t-\frac18\right)\le0.$$

Парабола ветвями вверх, значит неравенство выполняется между корнями: $$\frac18\le t\le8.$$

Возвращаемся к переменной $x$, подставляя $t=2^x$ и записывая границы как степени двойки: $\frac18=2^{-3}$, $8=2^3$: $$2^{-3}\le2^x\le2^3.$$

Поскольку показательная функция с основанием $2>1$ строго возрастает, неравенство между степенями равносильно такому же неравенству между показателями: $$-3\le x\le3.$$

Это и есть решение исходного неравенства.