Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Шаг 1. Приводим все степени к одному основанию. Заметим, что $25=5^2$, $20=5\cdot4$, $16=4^2$. Значит все слагаемые можно выразить через степени числа $5/4$: $$25^x=5^{2x},\quad 20^x=(5\cdot4)^x,\quad 16^x=4^{2x}.$$

Шаг 2. Делим неравенство на $16^x>0$. Так как $16^x$ всегда положительно, деление не меняет знак неравенства: $$\left(\frac{25}{16}\right)^x-\left(\frac{20}{16}\right)^x-2\le0.$$ Замечаем, что $\dfrac{25}{16}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^2$ и $\dfrac{20}{16}=\dfrac{5}{4}$, поэтому: $$\left(\frac{5}{4}\right)^{2x}-\left(\frac{5}{4}\right)^{x}-2\le0.$$

Шаг 3. Вводим замену переменной. Пусть $z=\left(\dfrac{5}{4}\right)^x$, причём $z>0$ (показательная функция всегда положительна). Получаем квадратное неравенство: $$z^2-z-2\le0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения $z^2-z-2=0$: $z=-1$ и $z=2$. Парабола ветвями вверх, значит неравенство выполняется между корнями: $$-1\le z\le2.$$

Шаг 5. Учитываем ограничение $z>0$. Поскольку $z=\left(\dfrac54\right)^x>0$ всегда, условие $-1\le z$ выполняется автоматически. Остаётся: $$0<z\le2 \;\Rightarrow\; \left(\frac54\right)^x\le2.$$

Шаг 6. Возвращаемся к переменной $x$. Основание $5/4>1$, значит показательная функция возрастает, и переход к логарифму сохраняет знак неравенства: $$x\le\log_{1,25}2.$$

Ответ: $x\in(-\infty;\ \log_{1,25}2]$.