Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Шаг 1. Замена переменной. Обозначим $y=4^{x}$. Так как показательная функция всегда положительна, $y>0$. Заметим, что $4^{-x}=\dfrac{1}{4^{x}}=\dfrac{1}{y}$. Тогда неравенство $$4^{x}+4^{-x}\ge \frac{10}{3}$$ принимает вид $$y+\frac{1}{y}\ge \frac{10}{3},\quad y>0.$$

Шаг 2. Приведение к квадратному неравенству. Умножим обе части на положительное число $3y$ (знак неравенства не меняется): $$3y^{2}+3\ge 10y \;\Rightarrow\; 3y^{2}-10y+3\ge 0.$$

Шаг 3. Решение квадратного неравенства. Найдём корни уравнения $3y^{2}-10y+3=0$ через дискриминант: $$D=100-36=64,\qquad y=\frac{10\pm8}{6}.$$ Отсюда $y_1=\dfrac13$, $y_2=3$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $3y^2-10y+3\ge0$ выполняется при $$y\le \frac13 \quad\text{или}\quad y\ge 3.$$ Учитывая условие $y>0$, оба промежутка допустимы.

Шаг 4. Возврат к переменной $x$. Вспоминаем, что $y=4^{x}$, а функция $4^{x}$ монотонно возрастает, поэтому неравенства для $y$ переносятся на $x$ с сохранением направления:

• $4^{x}\le \dfrac13 \Rightarrow x\le \log_4\dfrac13=-\log_4 3$;
• $4^{x}\ge 3 \Rightarrow x\ge \log_4 3$.

Шаг 5. Запись ответа. Объединяя оба случая, получаем решение исходного неравенства.