ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Вписанные окружности и четырехугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}Окружность, вписанная в четырехугольник

В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что \angle MNK = 90 градусов , \angle NKL = \angle KLM =120 градусов .

а)  Докажите, что точка А лежит на прямой LO.

б)  Найдите длину стороны МN, если LA  =  1.

В подтеме 41 задач
Разбор
Главная идея: Использовать то, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисах всех углов четырёхугольника, и рассматривать прямоугольные треугольники, образованные радиусами в точках касания, чтобы связать длины отрезков через тангенсы половинных углов.

  1. Сумма углов четырёхугольника равна 360∘360^\circ, поэтому ∠M=360∘−90∘−120∘−120∘=30∘\angle M=360^\circ-90^\circ-120^\circ-120^\circ=30^\circ.

  2. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах всех углов четырёхугольника. Обозначим точку касания со стороной LMLM через HH. Тогда ∠OLM=60∘\angle OLM=60^\circ, а в прямоугольном треугольнике OHLOHL (радиус OH⊥LMOH\perp LM) ∠LOH=90∘−60∘=30∘\angle LOH=90^\circ-60^\circ=30^\circ.

  3. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам, поэтому в четырёхугольнике OHMAOHMA углы при HH и AA равны 90∘90^\circ. Сумма его углов 360∘360^\circ даёт ∠HOA=360∘−90∘−90∘−30∘=150∘\angle HOA=360^\circ-90^\circ-90^\circ-30^\circ=150^\circ.

  4. Так как ∠LOH+∠HOA=30∘+150∘=180∘\angle LOH+\angle HOA=30^\circ+150^\circ=180^\circ, точки L,O,AL,O,A лежат на одной прямой — это доказывает пункт а).

  5. По биссектрисе угла N=90∘N=90^\circ получаем ∠NOA=45∘\angle NOA=45^\circ, по биссектрисе угла M=30∘M=30^\circ — ∠MOA=75∘\angle MOA=75^\circ (из прямоугольных треугольников ONAONA и OMAOMA).

  6. Пусть OA=xOA=x. Из треугольника OHLOHL: LO=OHcos⁡30∘=2x3LO=\dfrac{OH}{\cos30^\circ}=\dfrac{2x}{\sqrt3}. Тогда LA=LO+OA=2x3+x=1LA=LO+OA=\dfrac{2x}{\sqrt3}+x=1, откуда x=32+3x=\dfrac{\sqrt3}{2+\sqrt3}.

  7. NA=OAtan⁡45∘=xNA=OA\tan45^\circ=x, AM=OAtan⁡75∘AM=OA\tan75^\circ, а tan⁡75∘=1+tan⁡30∘1−tan⁡30∘=3+13−1\tan75^\circ=\dfrac{1+\tan30^\circ}{1-\tan30^\circ}=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}.

  8. MN=NA+AM=x(1+tan⁡75∘)=x⋅233−1=32+3⋅233−1=6(2+3)(3−1)=63+1=33−3.MN=NA+AM=x\left(1+\tan75^\circ\right)=x\cdot\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt3-1}=\dfrac{\sqrt3}{2+\sqrt3}\cdot\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt3-1}=\dfrac{6}{(2+\sqrt3)(\sqrt3-1)}=\dfrac{6}{\sqrt3+1}=3\sqrt3-3.

Типичные ошибки

  • Забывают, что радиус в точке касания перпендикулярен стороне, и не используют прямые углы в четырёхугольнике OHMA при подсчёте угла HOA.
  • Ошибочно считают, что O лежит между L и A не в том порядке, что приводит к неверному знаку в уравнении LA=LO+OA.
  • Неверно вычисляют тангенс 75° или путают формулы сложения тангенсов, что искажает итоговый ответ.
Непонятно?

Похожие задачи