Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Подобие треугольников

Обозначим $\angle ABC=\alpha$, тогда по условию $\angle BAC=2\alpha$.

O — центр описанной окружности треугольника $ABC$, поэтому центральный угол $\angle COA$ и вписанный угол $\angle CBA$ опираются на одну и ту же дугу $AC$. По теореме о вписанном угле центральный угол вдвое больше вписанного: $\angle COA=2\alpha$.

Точки $A,O,C,P$ лежат на одной окружности (по условию), а углы $\angle COA$ и $\angle CPA$ — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну дугу $AC$. Значит $\angle CPA=\angle COA=2\alpha$.

Таким образом $\angle CPA=\angle BAC=2\alpha$. Кроме того, угол при вершине $C$ у обоих треугольников общий: $\angle ACB=\angle PCA$ (это один и тот же угол, так как $P$ лежит на стороне $BC$).

По признаку подобия по двум углам $\triangle ABC\sim\triangle PAC$ (соответствие $A\to P,\;B\to A,\;C\to C$).

б) Нахождение AB

Из подобия следует $\angle PAC=\angle ABC=\alpha$. Так как $\angle BAC=2\alpha$, а $\angle PAC=\alpha$, получаем $\angle BAP=\alpha=\angle PAC$ — значит $AP$ делит угол $A$ пополам, то есть является биссектрисой угла $BAC$.

Из подобия $\triangle ABC\sim\triangle PAC$ имеем пропорцию сторон: $$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{PC}\ \Rightarrow\ PC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.$$

Тогда $PB=BC-PC=6-\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}$.

По свойству биссектрисы угла $A$ (биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон): $$\frac{AB}{AC}=\frac{PB}{PC}\ \Rightarrow\ AB=AC\cdot\frac{PB}{PC}=4\cdot\frac{10/3}{8/3}=4\cdot\frac{10}{8}=5.$$

Итак, $AB=5$.