Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

Часть а) Доказательство перпендикулярности OH и DA₁

Рассмотрим точку D₁, симметричную H относительно A₁. Тогда A₁ — середина отрезка HD₁.

По свойству симметрии относительно точки: если H — ортоцентр, то $\angle BD_1C = \angle BHC = 180° - \angle BAC$ (углы, опирающиеся на дугу BC, связаны соотношением, где один из них — ортоцентр). Поэтому D₁ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Из условия $DH = 2A_1H$ следует: $DA_1 = DH + HA_1 = 2A_1H + A_1H = 3A_1H$ и $D_1A_1 = A_1H$, значит $DD_1 = DA_1 + A_1D_1 = 3A_1H + A_1H = 4A_1H$. Также $DH = 2A_1H$, поэтому OH — медиана треугольника ODD₁.

Поскольку $OD = OD_1$ (оба радиусы описанной окружности), треугольник ODD₁ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана из вершины угла при основании перпендикулярна основанию. Следовательно, $OH \perp DD_1$, т.е. $OH \perp DA_1$.

Часть б) Поиск угла

Окружность треугольника OHA₁ касается AH в точке H, поэтому по свойству касательной: $\angle AHO = \angle HA_1O$.

Отрезки OA₁ и AH параллельны (известное свойство: радиус в середину стороны параллелен высоте), значит $\angle HA_1O = \angle A_1OH$ (накрест лежащие).

Все три угла равны: $\angle AHO = \angle HA_1O = \angle A_1OH = 45°$.

Пусть высота AH пересекает BC в точке K, и $HK = x$. Из симметрии и геометрии: $KA_1 = x$, $HA_1 = \sqrt{2}x$.

Из $\angle A_1OH = 45°$ и $OH = HA_1$ получаем $OA_1 = 2x$.

Поскольку $OA_1$ — радиус, $AH = 2OA_1 = 4x$, откуда $AK = AH - HK = 4x - (-x) = 5x$.

Угол между AA₁ и BC: $\angle AA_1K = \arctan\frac{AK}{KA_1} = \arctan\frac{5x}{x} = \arctan 5$.