Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

1. Основание степени $x^{2}+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^{2}+\dfrac34>0$ при всех $x$ (полный квадрат плюс положительное число). Значит выражение слева определено для всех $x$, кроме $x=-2$ (там не существует показатель $\frac{x+5}{x+2}$). Так как обе части неравенства положительны, можно прологарифмировать неравенство по любому основанию — знак неравенства сохранится, потому что $\lg t$ — возрастающая функция.

2. Записываем правую часть как $(x^2+x+1)^1$ и логарифмируем: $$\dfrac{x+5}{x+2}\lg(x^2+x+1)\ge \lg(x^2+x+1).$$

3. Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель $\lg(x^2+x+1)$: $$\lg(x^2+x+1)\left(\dfrac{x+5}{x+2}-1\right)\ge0 \;\Longleftrightarrow\; \lg(x^2+x+1)\cdot\dfrac{3}{x+2}\ge0.$$

4. Так как $\lg(x^2+x+1)=\lg(x^2+x+1)-\lg1$, это выражение имеет тот же знак, что и $(x^2+x+1-1)=x^2+x$. Подставляем и убираем положительный множитель 3: $$(x^2+x)\cdot\dfrac1{x+2}\ge0 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{x(x+1)}{x+2}\ge0.$$

5. Решаем методом интервалов: корни числителя $x=0,\,x=-1$ (включаются, т.к. неравенство нестрогое), корень знаменателя $x=-2$ (исключается, там дробь не определена). Расставляя знаки на числовой прямой, получаем, что дробь неотрицательна при $-2<x\le-1$ и при $x\ge0$.

Ответ: $(-2;-1]\cup[0;+\infty)$.