Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Так как в ABCD вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: $AB+CD=AD+BC$ (1) — это стандартное свойство описанного четырёхугольника (равенство отрезков касательных).

Углы B и D прямые, поэтому AC — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ABC и ADC, и по теореме Пифагора $AB^2+BC^2=AC^2=AD^2+DC^2$, то есть $AB^2+BC^2=AD^2+DC^2$ (2).

Перепишем (2) как $(AB-DC)(AB+DC)=(AD-BC)(AD+BC)$ и разделим на равные (по (1)) множители $AB+DC=AD+BC$: получаем $AB-DC=AD-BC$ (3).

Складывая (1) и (3): $2AB=2AD\Rightarrow AB=AD$, а тогда из (1) $BC=CD$. Значит, ABCD — «кайт»: AC — ось симметрии, значит $AC\perp BD$ и AC делит BD пополам в точке K пересечения диагоналей.

В равнобедренном треугольнике ABD (AB=AD) точка касания вписанной окружности с основанием BD лежит ровно в середине BD, то есть в точке K. Аналогично для равнобедренного BCD (BC=CD) окружность касается BD тоже в K. Обе окружности лежат по разные стороны от прямой BD и касаются её в одной и той же точке — значит, они касаются друг друга именно в K.

б) Так как $BD\perp AC$ в точке K, отрезок BK — высота, опущенная из прямого угла B на гипотенузу AC в прямоугольном треугольнике ABC. Известное свойство такой конфигурации даёт, что центры вписанных окружностей треугольников ABD и CBD (P₁ и Q₁) отстоят от прямой BK на радиус r вписанной окружности всего треугольника ABC, причём по разные стороны, поэтому $P_1Q_1=2r$.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности: $r=\dfrac{AB+BC-AC}{2}$, откуда $P_1Q_1=AB+BC-AC=6$.

По симметрии кайта $AD=AB$, $DC=BC$, поэтому периметр ABC равен периметру ADC: $AB+BC+AC=AD+DC+AC=44$.

Решая систему $AB+BC+AC=44$ и $AB+BC-AC=6$, вычитанием получаем $2AC=38$, значит $AC=19$.