Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Пусть окружности касаются $AD$ в точках $K$ и $AD$... точнее, первая окружность касается $AD$ в точке $K$, вторая — $BC$ в точке $L$, а прямая $l$ пересекает $AD$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$, а диагональ $AC$ — в точке $O$. Так как $AO_1$ и $CO_2$ — биссектрисы равных углов $BAD$ и $BCD$ (в параллелограмме противоположные углы равны), прямоугольные треугольники $AKO_1$ и $CLO_2$ равны по катету $r$ и острому углу, поэтому $AK=CL$. Аналогично из равенства касательных, проведённых из точек $P$ и $Q$, получаем $KP=LQ$. Складывая, $AP=AK+KP=CL+LQ=CQ$. Кроме того, углы $PAO$ и $QCO$ равны как накрест лежащие при $AD\parallel BC$, а углы $APO$ и $CQO$ равны как соответствующие углы наклона касательной. Значит, треугольники $AOP$ и $COQ$ равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда $AO=OC$ — то есть $O$ совпадает с центром параллелограмма, точкой пересечения диагоналей. Что и требовалось доказать.

б) Для прямоугольника сторона $AD$ складывается из диаметра окружности и расстояния между центрами: $2r+O_1O_2=AD$, то есть $2r+10=16$, откуда $r=3$.

Четырёхугольник $O_1MO_2N$ — параллелограмм, так как $O_1M\parallel O_2N$ и $O_1M=O_2N=r$ (обе перпендикулярны касательной $l$). Его диагонали $O_1O_2$ и $MN$ пересекаются в точке $O$ и делятся пополам, поэтому площадь параллелограмма равна учетверённой площади треугольника $OO_1M$.

В этом треугольнике $OO_1=\dfrac12 O_1O_2=5$, $O_1M=r=3$, а угол при $M$ прямой (радиус перпендикулярен касательной), значит по теореме Пифагора $$OM=\sqrt{OO_1^2-O_1M^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$$

Площадь треугольника $OO_1M$ равна $\dfrac12\cdot OM\cdot O_1M=\dfrac12\cdot4\cdot3=6$, поэтому площадь всего четырёхугольника $$S_{O_1MO_2N}=4\cdot6=24.$$