Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Область определения: $x\neq0,\ x\neq1$ (знаменатели $2x$ и $1-x$).

Обозначим основание $a=2^{x}+0{,}09\cdot2^{-x}>0$. Для неравенства вида $a^{f}\ge a^{g}$ применяем метод рационализации: оно равносильно $(a-1)(f-g)\ge0$, потому что при $a>1$ степенная функция возрастает, а при $0<a<1$ убывает — множитель $(a-1)$ учитывает смену знака автоматически.

Получаем $$\left(2^{x}+0{,}09\cdot2^{-x}-1\right)\left(\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{1-x}\right)\ge0.$$

Приводим каждую скобку к дроби: числитель первой — $\dfrac{(2^{x})^{2}-2^{x}+0{,}09}{2^{x}}$, вторая равна $\dfrac{1-3x}{2x(1-x)}$. Так как $2^{x}>0$, множитель $2^{x}$ можно убрать без смены знака, а квадратный трёхчлен разложить: $t^{2}-t+0{,}09=(t-0{,}1)(t-0{,}9)$ (проверка: $0{,}1\cdot0{,}9=0{,}09$, $0{,}1+0{,}9=1$).

Получаем $$\dfrac{(2^{x}-0{,}1)(2^{x}-0{,}9)(3x-1)}{x(x-1)}\ge0.$$

Поскольку $2^{x}$ строго возрастает, $2^{x}-c$ имеет тот же знак, что и $x-\log_2 c$. Заменяем: $$\dfrac{(x-\log_2 0{,}1)(x-\log_2 0{,}9)(3x-1)}{x(x-1)}\ge0.$$

Числа в порядке возрастания: $\log_2 0{,}1<\log_2 0{,}9<0<\dfrac13<1$. Методом интервалов, учитывая, что $x=0$ и $x=1$ выколоты, определяем знаки на каждом промежутке и получаем итоговое множество решений.