Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Область определения: слева стоит $x^{-2}$, справа знаменатель $4x^2$, поэтому $x\neq0$.

Левая часть $0.25^{(-\frac3x-2)(x+2)}\cdot14^{x}\cdot x^{-2}$ — произведение положительных показательных функций и $x^{-2}>0$, значит вся левая часть строго положительна при любых допустимых $x$. Поэтому можно разделить обе части неравенства на неё, не меняя знак неравенства, и слева получить единицу: $$1\le \dfrac{2^{(-\frac3x-2)(x+2)}\cdot14^{x}}{4x^{2}\cdot 0.25^{(-\frac3x-2)(x+2)}\cdot14^{x}\cdot x^{-2}}.$$

Приводим правую часть к одному основанию 2. Так как $0.25=2^{-2}$, $14^{x}$ сокращается, $x^{-2}$ и $4x^{2}$ дают $\frac{1}{4}$, а степени с основанием 2 складываются по правилу $a^{m}\cdot a^{-n}=a^{m-n}$. После сокращения получаем $$2^{(3x-2)\left(1-\frac{3}{x+2}\right)}\ge1,\qquad x\neq0.$$ Это следует из того, что $2^{-2\cdot(\dots)}$ при переходе к степени 2 меняет знак показателя, а умножение степеней с одинаковым основанием даёт сумму показателей.

Функция $2^{t}$ строго возрастает, поэтому неравенство $2^{t}\ge1=2^{0}$ равносильно $t\ge0$: $$(3x-2)\left(1-\frac{3}{x+2}\right)\ge0.$$

Приводим к общему знаменателю: $1-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}$. Получаем рациональное неравенство $$\dfrac{(3x-2)(x-1)}{x+2}\ge0,\qquad x\neq0.$$

Находим нули числителя и знаменателя: $x=-2,\;x=0,\;x=\frac23,\;x=1$. Методом интервалов определяем знак выражения на промежутках между этими точками (при переходе через каждый корень знак меняется, так как все множители в первой степени):