Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Пусть N — вторая точка пересечения прямой $O_1O_2$ с окружностью $\omega$. Так как $AO_1$ — биссектриса внешнего угла $A$, то $\angle BAN=\tfrac12(180^\circ-\angle BAC)$, а по свойству вписанных углов $\angle BCN=\angle BAN=90^\circ-\tfrac{\angle BAC}{2}$. Аналогично, используя, что $AO_2$ — тоже биссектриса внешнего угла $A$, получаем $\angle CBN=180^\circ-\angle CAN=90^\circ-\tfrac{\angle BAC}{2}$. Значит $\angle CBN=\angle BCN$, треугольник $BNC$ равнобедренный, то есть $N$ — середина дуги $BC$, значит $N=M$, и точка $M$ лежит на прямой $O_1O_2$.

б) Так как $AO_1$ — биссектриса внешнего, а $AK$ — внутреннего угла при $A$, эти прямые перпендикулярны, значит $AK\perp O_1O_2$. Пусть $r_1,r_2$ — радиусы $\omega_1,\omega_2$, а $H_1,H_2$ — точки касания с $AB,AC$. Угол между $AO_2$ и $AC$ равен $60^\circ/2$... точнее из прямоугольного треугольника $AH_2O_2$ следует $AO_2=\dfrac{2}{\sqrt3}r_2$, аналогично $AO_1=\dfrac{2}{\sqrt3}r_1$. Тогда $O_1O_2=\dfrac{2}{\sqrt3}(r_1+r_2)=\dfrac{2}{\sqrt3}\cdot5\sqrt3=10$.

Из условия $AK^2=AO_1\cdot AO_2$ треугольники $AKO_1$ и $AO_2K$ подобны (общий угол при $A$ и пропорциональные стороны), откуда $\angle AKO_1=\angle AO_2K$. Поскольку $AK\perp O_1O_2$, сумма $\angle AO_2K+\angle KAO_2=90^\circ$, а значит $\angle O_1KO_2=90^\circ$. Кроме того, известно, что $\angle O_1BO_2=\angle O_1CO_2=90^\circ$ (стандартное свойство вневписанных центров). Таким образом точки $B,K,C$ лежат на окружности с диаметром $O_1O_2$, и её радиус равен $\dfrac{O_1O_2}{2}=5$.