Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Замечаем, что $4^{x^2+2x-5}=\left(2^{x^2+2x-5}\right)^2$, поэтому удобно ввести замену $t=2^{x^2+2x-5}$, $t>0$.

Подставляя, получаем квадратное неравенство: $$4t^2-33t+8\ge 0.$$ Разложим на множители (корни $t=8$ и $t=\tfrac14$): $$(4t-1)(t-8)\ge 0.$$ Знак произведения положителен, когда оба множителя одного знака, значит $t\le\tfrac14$ или $t\ge 8$.

Случай 1: $t\le \tfrac14$. Поскольку показательная функция с основанием $2>1$ монотонно возрастает, неравенство $2^{x^2+2x-5}\le \tfrac14=2^{-2}$ равносильно сравнению показателей: $$x^2+2x-5\le -2 \;\Rightarrow\; x^2+2x-3\le 0 \;\Rightarrow\;(x-1)(x+3)\le 0.$$ Отсюда $-3\le x\le 1$.

Случай 2: $t\ge 8$. Аналогично, $2^{x^2+2x-5}\ge 8=2^{3}$ даёт $$x^2+2x-5\ge 3 \;\Rightarrow\; x^2+2x-8\ge 0 \;\Rightarrow\;(x-2)(x+4)\ge 0.$$ Отсюда $x\le -4$ или $x\ge 2$.

Объединяя оба случая (так как исходное неравенство выполняется, если верно хотя бы одно из условий на $t$), получаем окончательное множество решений: $$x\le -4,\quad -3\le x\le 1,\quad x\ge 2.$$

Запишем в виде объединения промежутков.