ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные неравенства

Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Неравенства первой и второй степени относительно показательной функцииВведение замены

Решите неравенство 9 в степени левая круглая скобка 4x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 36 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс 243 больше или равно 0.

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Свести показательное неравенство к квадратному через замену t=34x−x2−1t=3^{4x-x^2-1}, используя связь 9u=(3u)29^u=(3^u)^2, а затем перейти от неравенства степеней к неравенству показателей за счёт монотонности основания 3>13>1.

Шаг 1. Замена переменной. Заметим, что 9u=(32)u=(3u)29^{u}=(3^2)^u=(3^u)^2, где u=4x−x2−1u=4x-x^2-1. Введём t=3u=34x−x2−1t=3^{u}=3^{4x-x^2-1}, тогда 9u=t29^{u}=t^2. Неравенство переписывается как t2−36t+243≥0.t^2-36t+243\ge 0. Замена возможна, потому что показательная функция монотонна и каждому значению xx соответствует единственное t>0t>0.

Шаг 2. Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения t2−36t+243=0t^2-36t+243=0: по теореме Виета (или дискриминанту) получаем t=9t=9 и t=27t=27. Значит, (t−9)(t−27)≥0⇒t≤9 или t≥27.(t-9)(t-27)\ge 0 \Rightarrow t\le 9 \ \text{или}\ t\ge 27.

Шаг 3. Возврат к исходной переменной. Подставляем t=34x−x2−1t=3^{4x-x^2-1}: 34x−x2−1≤9=32или34x−x2−1≥27=33.3^{4x-x^2-1}\le 9=3^2 \quad\text{или}\quad 3^{4x-x^2-1}\ge 27=3^3. Так как основание 3>13>1, показательная функция возрастает, значит сравнение степеней равносильно сравнению показателей (знаки неравенств сохраняются): 4x−x2−1≤2или4x−x2−1≥3.4x-x^2-1\le 2 \quad\text{или}\quad 4x-x^2-1\ge 3.

Шаг 4. Решаем полученные квадратные неравенства. Первое: 4x−x2−1≤2⇒x2−4x+3≥0⇒(x−1)(x−3)≥0⇒x≤14x-x^2-1\le2 \Rightarrow x^2-4x+3\ge0 \Rightarrow (x-1)(x-3)\ge0 \Rightarrow x\le1 или x≥3x\ge3. Второе: 4x−x2−1≥3⇒x2−4x+4≤0⇒(x−2)2≤0⇒x=24x-x^2-1\ge3 \Rightarrow x^2-4x+4\le0 \Rightarrow (x-2)^2\le0 \Rightarrow x=2.

Шаг 5. Объединяем результаты. Объединяя решения обеих ветвей совокупности, получаем x∈(−∞;1]∪{2}∪[3;+∞).x\in(-\infty;1]\cup\{2\}\cup[3;+\infty).

Типичные ошибки

  • Забывают, что 9u=(3u)29^{u}=(3^u)^2, и пытаются вводить отдельную переменную для 9u9^u, не связывая её с tt.
  • При переходе от 3a≤3b3^{a}\le 3^{b} к a≤ba\le b не проверяют, что основание больше 1 (или путают знак неравенства при основании меньше 1).
  • Не доводят решение квадратных неравенств до конца, теряя случай (x−2)2≤0(x-2)^2\le0, который даёт единственную точку x=2x=2, а не пустое множество.
Непонятно?

Похожие задачи