Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Пусть $M$ — середина $AB$. Так как $D$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, то $DA=DB$, и $DM$ — высота (значит и биссектриса) равнобедренного треугольника $ADB$, поэтому центр вписанной окружности $O$ лежит на $DM$, причём $OM\perp AB$ и $OP\perp AD$ (радиусы к точкам касания). Треугольники $DOP$ и $OKM$ прямоугольные, а углы $\angle POD$ и $\angle KOM$ равны как вертикальные, значит равны и вторые острые углы: $\angle PDO=\angle OKM$. Поскольку $DO$ — биссектриса угла $ADB$, $\angle ODB=\angle PDO=\angle OKM=180^\circ-\angle OKB$. Равенство $\angle ODB+\angle OKB=180^\circ$ означает, что противоположные углы четырёхугольника $BDOK$ в сумме дают $180^\circ$, то есть около него можно описать окружность.

б) Проверяем: $AC^2+CB^2=81+19=100=AB^2$, значит $\angle ACB=90^\circ$ и $\cos\angle CAB=\dfrac{9}{10}$.

Пусть $\angle OAM=\alpha$ — половина угла $DAB=\angle CAB$ (AO — биссектриса, так как $O$ — центр вписанной окружности). По формуле косинуса двойного угла $2\cos^2\alpha-1=\dfrac{9}{10}$, отсюда $\cos^2\alpha=\dfrac{19}{20}$, $\sin\alpha=\sqrt{\dfrac1{20}}$, $\tan\alpha=\dfrac1{\sqrt{19}}$.

$OM=AM\tan\alpha=5\cdot\dfrac1{\sqrt{19}}=\dfrac{5\sqrt{19}}{19}$.

Так как $\tan\angle CAB=\dfrac{\sqrt{19}}9$, то $DM=AM\tan\angle CAB=5\cdot\dfrac{\sqrt{19}}9=\dfrac{5\sqrt{19}}9$.

$DO=DM-OM=5\sqrt{19}\left(\dfrac19-\dfrac1{19}\right)=\dfrac{50\sqrt{19}}{171}$.

Поскольку $DA=DB$, углы $\angle DAB=\angle DBA=2\alpha$, а $BO$ — биссектриса угла $B$ (O — инцентр), значит $\angle DBO=\alpha$. По теореме синусов для вписанного четырёхугольника $BDOK$: $\dfrac{DO}{\sin\angle DBO}=2R$, то есть $2R=\dfrac{50\sqrt{19}}{171}\cdot\sqrt{20}=\dfrac{100\sqrt{95}}{171}$, откуда $R=\dfrac{50\sqrt{95}}{171}$.