Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Угол $BHC=90^\circ$, поэтому в прямоугольном треугольнике $BHC$ сумма острых углов равна $90^\circ$: если $\angle KBC=\alpha$, то $\angle BCH=\angle BCA=90^\circ-\alpha$.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу $AB$, что и вписанный угол $\angle ACB$, вдвое больше него: $\angle BOA=2\angle ACB=180^\circ-2\alpha$.

Треугольник $BOA$ равнобедренный ($OA=OB=R$), значит углы при основании равны: $\angle ABN=\dfrac{180^\circ-(180^\circ-2\alpha)}{2}=\alpha$.

Таким образом $\angle ABN=\alpha=\angle KBC$ — равные вписанные углы опираются на равные дуги, а равные дуги стягивают равные хорды: $AN=CK$.

б) По сумме углов треугольника $\angle ABC=180^\circ-35^\circ-65^\circ=80^\circ$.

Из доказанного в пункте а) $\angle ABN=\angle KBC=\alpha$, где $\alpha=90^\circ-\angle ACB=90^\circ-65^\circ=25^\circ$.

Тогда угол между хордами $BN$ и $BK$: $\angle NBK=\angle ABC-\angle ABN-\angle KBC=80^\circ-25^\circ-25^\circ=30^\circ$.

Так как $BN$ — диаметр, вписанный угол $\angle NKB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Значит треугольник $NKB$ прямоугольный с острым углом $30^\circ$ при вершине $B$, а $KN$ — катет, лежащий против этого угла.

Диаметр $BN=2R=24$, поэтому $KN=\dfrac12 BN=12$ (катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы).