Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Так как $BH$ — высота трапеции, $BH\perp AD$. Основания $AD\parallel BC$, поэтому $BH\perp BC$. Значит вписанный угол $\angle KBC=90^\circ$, а он опирается на хорду $CK$ — значит $CK$ является диаметром окружности. На тот же диаметр $CK$ опирается вписанный угол $\angle CAK$, поэтому он тоже равен $90^\circ$, то есть $AC\perp AK$.

б) Углы $\angle CKB$ и $\angle CAB$ опираются на одну и ту же дугу $CB$, значит равны: $\angle CKB=\angle CAB=30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $KBC$ (угол при $B$ прямой, угол при $K$ равен $30^\circ$) катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $$BC=\frac12CK=R=12,\qquad BK=CK\cos30^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3.$$

Треугольники $KBC$ и $KHN$ имеют общий угол при вершине $K$ и по прямому углу ($\angle KBC=\angle KHN=90^\circ$), значит подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_{KBC}}{S_{KHN}}=\frac{S_{KHN}+S_{BCNH}}{S_{KHN}}=\frac{S_{KHN}+8S_{KHN}}{S_{KHN}}=9=\left(\frac{KB}{KH}\right)^2.$$ Отсюда $\dfrac{KB}{KH}=3$, значит $KH=\dfrac{12\sqrt3}{3}=4\sqrt3$, а $BH=BK-KH=12\sqrt3-4\sqrt3=8\sqrt3$.

Трапеция вписана в окружность — она равнобедренная, поэтому высота делит основание $AD$ на отрезки $$AH=\frac{AD-BC}{2},\qquad HD=\frac{AD+BC}{2}.$$ По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд ($AD$ и $BK$ пересекаются в точке $H$): $$AH\cdot HD=BH\cdot HK.$$ Подставляя, получаем $$\frac{AD^2-BC^2}{4}=8\sqrt3\cdot4\sqrt3=96,$$ $$\frac{AD^2-144}{4}=96\ \Rightarrow\ AD^2=528\ \Rightarrow\ AD=4\sqrt{33}.$$