Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Пусть окружность касается $BC$ в точке $M$, а $AD$ в точке $N$. Так как $AD\parallel BC$, при секущей $AE$ углы $\angle OAN$ и $\angle OEM$ равны как накрест лежащие. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам, поэтому $\angle ONA=\angle OME=90^{\circ}$ и $ON=OM=r$. Значит прямоугольные треугольники $ONA$ и $OME$ равны по катету и острому углу, откуда $AN=ME$ и (важно!) $AO=OE$. Так как $CD\perp AD,\;CD\perp BC$, точка касания окружности с $CD$ делит её на отрезки, равные тангенциальным отрезкам из $C$ и из $D$: $CM=$ отрезок от $C$ до точки касания на $CD$, $DN=$ отрезок от $D$. Их сумма даёт $CD=CM+DN$. Теперь: $AD=AN+ND=ME+ND=(MC+CE)+ND=(MC+ND)+CE=CD+CE$, что и требовалось доказать.

б) Так как $O$ — центр вписанной окружности, $AO$ — биссектриса угла $BAD$, значит $\angle OAN=\dfrac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$. Из доказанного в п. а) $AO=OE$, поэтому $AO=\dfrac{AE}{2}=5$. В прямоугольном треугольнике $ONA$ ($\angle N=90^{\circ},\angle A=30^{\circ}$) $ON=AO\sin30^{\circ}=\dfrac{5}{2}$, значит высота трапеции (расстояние между $AD$ и $BC$) $MN=2ON=AO=5$. Эта высота равна и стороне $CD$, так как $CD\perp$ обоим основаниям. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AB$, высотой и углом $60^{\circ}$ при вершине $A$: $AB=\dfrac{MN}{\sin60^{\circ}}=\dfrac{5}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{10}{\sqrt3}$. По свойству описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: $AB+CD=BC+AD$. Площадь трапеции $S=\dfrac12\cdot MN\cdot (BC+AD)=\dfrac12\cdot MN\cdot (AB+CD)=\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{10}{\sqrt3}+5\right)=\dfrac{25\sqrt3+50}{2\sqrt3}=\dfrac{75+50\sqrt3}{6}=\dfrac{25}{6}\left(3+2\sqrt3\right).$