Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

В трапеции ABCD стороны AD и BC — основания (параллельны), а AB — боковая сторона, перпендикулярная обоим основаниям (значит углы A и B — прямые, угол D — острый, угол C — тупой). Так как окружность вписана, её центр O лежит на биссектрисах всех углов трапеции, значит луч CO делит угол BCD пополам, а луч DO — угол ADC пополам.

Так как AD∥BC, а CD — секущая, то $\angle ADC+\angle BCD=180^\circ$. Тогда сумма половин этих углов, то есть $\angle ODC+\angle OCD=90^\circ$, а значит в треугольнике $ODC$ угол при вершине O равен $90^\circ$: $CO\perp DO$.

В прямоугольном треугольнике ADM (угол A=90°) сумма острых углов равна 90°, поэтому $\angle AMO=\angle AMD=90^\circ-\angle ADM$. Но $\angle ADM=\angle KDO$ (это один и тот же угол), поэтому $\angle AMO=90^\circ-\angle KDO=\angle DKO$ (так как в прямоугольном треугольнике DKO угол при K дополняет угол при D до 90°). Равенство доказано.

Для площади: биссектрисы прямых углов A и B пересекаются в O, значит $\angle OAB=\angle OBA=45^\circ$, треугольник AOB — прямоугольный равнобедренный, поэтому $OA=OB$ и угол AOB=90°.

Так как $CO\perp DO$, угол $\angle BOC=90^\circ-\angle BOM=\angle AOM$. Вместе с $OA=OB$ и равными прилежащими углами это даёт равенство треугольников $AOM$ и $BOC$ (по стороне и двум углам), значит их площади равны: $S_{AOM}=S_{BOC}$.

Обозначим радиус окружности r, точки касания с AB, BC, CD, AD — E, F, G, H. Тогда $AH=AE=r$, $BF=BE=r$, отсюда $CF=CG=10-r$, $DH=DG=15-r$ (используя $BC=10$, $AD=15$).

В прямоугольном треугольнике COD (угол O=90°) отрезок OG — высота, опущенная на гипотенузу CD, и по свойству высоты в прямоугольном треугольнике $OG^2=CG\cdot GD$. Так как $OG=r$: $$r^2=(10-r)(15-r)=150-25r+r^2.$$ Отсюда $25r=150$, то есть $r=6$.

Площадь треугольника BOC равна $\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot OF=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot6=30$, а значит и $S_{AOM}=30$.