Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Так как $O$ — центр вписанной окружности, отрезки $BO$ и $CO$ лежат на биссектрисах углов $B$ и $C$. Пусть $\angle B=2\beta$, $\angle C=2\gamma$. Тогда $\angle ABP=\angle PBC=\beta$ и $\angle OCA=\angle OCB=\gamma$.

Вписанные углы $\angle ABP$ и $\angle ACP$ опираются на одну дугу $AP$, поэтому $\angle ACP=\angle ABP=\beta$. Тогда $\angle OCP=\angle OCA+\angle ACP=\gamma+\beta$.

Угол $\angle POC$ — внешний угол треугольника $BOC$ при вершине $O$, значит он равен сумме двух несмежных внутренних углов: $\angle POC=\angle OBC+\angle OCB=\beta+\gamma$.

Таким образом $\angle POC=\angle PCO=\beta+\gamma$, что и требовалось доказать.

б) Четырёхугольник $ABCP$ вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle ABC+\angle APC=180^\circ$, откуда $\angle APC=180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

Так как $BP$ — биссектриса угла $B$, она делит дугу $AC$, не содержащую $B$, на две равные дуги $AP$ и $PC$. Равным дугам соответствуют равные хорды, значит $AP=PC$.

Треугольник $APC$ — равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, а значит углы при основании тоже равны $60^\circ$ каждый — треугольник равносторонний. Его площадь вычисляется по формуле $S=\dfrac{AC^2\sqrt3}{4}$.

По теореме синусов для треугольника $ABC$: $AC=2R\sin\angle ABC=2\cdot4\cdot\sin120^\circ=8\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3$.

Тогда $S=\dfrac{(4\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=\dfrac{48\sqrt3}{4}=12\sqrt3$.