Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Пусть $M,N$ — середины оснований $BC,AD$, $K$ — точка касания окружности с $AB$. Так как $MCNH$ — прямоугольник (стороны параллельны, углы прямые), $MC=NH$. По свойству касательных из одной точки $KB=MB$, а $MB=MC$ как половины основания. Значит $KB=MC=NH$. Тогда прямоугольные треугольники $BMO$ и $HNO$ равны по двум катетам ($OM=ON$ — радиусы, $BM=NH$), откуда $BO=OH$. Аналогично из касательных $AK=AN$ следует $AB=AH$, поэтому треугольники $ABO$ и $AHO$ равны по трём сторонам. В равнобедренном треугольнике $ABH$ ($AB=AH$) отрезок $AO$ — одновременно медиана и биссектриса угла при вершине, значит и высота, то есть серединный перпендикуляр к $BH$.

б) Пусть $P$ — точка касания с $CD$, $T$ — середина $KP$. Из касательных $KB=CP$, значит $AK=PD$, и $KP\parallel AD$ (по теореме, обратной теореме Фалеса). Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: $CH=2r=8$. Из подобия $\triangle KTO\sim\triangle CHD$ (равные углы, дополняющие углы при основании) получаем $$CD=\frac{CH\cdot OK}{KT}=8\cdot4\cdot\frac{15}{32}=15.$$ Также $\sin\angle CDH=\dfrac{KT}{OK}=\dfrac{32/15}{4}=\dfrac{8}{15}$. Так как $AH=PD+CP=CD$ по сумме соответствующих отрезков, по теореме Пифагора $$AC=\sqrt{CD^2+CH^2}=\sqrt{225+64}=17.$$ Окружность, описанная около $\triangle ACD$, совпадает с описанной около трапеции. По теореме синусов $$R=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}=\frac{17}{2\cdot\frac{8}{15}}=\frac{255}{16}.$$