Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Заметим, что $98=7\cdot14,\ 70=7\cdot10,\ 14=2\cdot7,\ 10=2\cdot5$. Тогда: $$98^{x}=7^{x}\cdot14^{x},\qquad 70^{x}=7^{x}\cdot10^{x}.$$ Перепишем исходное выражение: $$7^{x}14^{x}-2\cdot14^{x}-7^{x}10^{x}+2\cdot10^{x}\ge 0.$$ Сгруппируем слагаемые по $14^x$ и $10^x$: $$14^{x}(7^{x}-2)-10^{x}(7^{x}-2)= (7^{x}-2)(14^{x}-10^{x})\ge0.$$ Так как $14^{x}-10^{x}=2^{x}7^{x}-2^{x}5^{x}=2^{x}(7^{x}-5^{x})$, получаем $$2^{x}(7^{x}-2)(7^{x}-5^{x})\ge0.$$ Множитель $2^{x}>0$ для любого $x$, поэтому знак всей левой части определяется произведением $$(7^{x}-2)(7^{x}-5^{x})\ge0.$$ Исследуем знаки отдельных множителей:

1. $7^{x}-2\ge0 \iff 7^{x}\ge2 \iff x\ge\log_{7}2$ (используем монотонность показательной функции с основанием $7>1$).

2. $7^{x}-5^{x}\ge0 \iff (7/5)^{x}\ge1$. Так как $7/5>1$, это выполняется при $x\ge0$.

Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

Оба ≥0: $x\ge\log_{7}2$ и $x\ge0$. Поскольку $\log_{7}2>0$ (т.к. $2>1$), пересечение — $x\ge\log_{7}2$.

Оба ≤0: $x\le\log_{7}2$ и $x\le0$. Пересечение — $x\le0$ (так как $\log_{7}2>0$).

Объединяя оба случая, получаем окончательный ответ.