Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

ОДЗ: $x\neq0$ (переменная стоит в знаменателе показателя).

Перепишем правую часть, разделив показатель на слагаемые: $$4^{\frac{1+x}{x}}=4^{1+\frac1x}=4\cdot4^{\frac1x}.$$ Это удобно, потому что теперь обе части неравенства выражаются через одну и ту же степень $4^{1/x}$.

Введём замену $t=4^{1/x}$ ($t>0$, так как показательная функция всегда положительна). Тогда левая часть $4^{2/x}+3=(4^{1/x})^2+3=t^2+3$, и неравенство принимает вид $$t^2+3\ge4t\quad\Longleftrightarrow\quad t^2-4t+3\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad (t-1)(t-3)\ge0.$$ Квадратный трёхчлен неотрицателен вне корней, значит $$t\le1\ \text{или}\ t\ge3.$$

Возвращаемся к переменной $x$, используя, что $4^{1/x}\le1=4^0$ равносильно $\frac1x\le0$ (основание $4>1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется): $$\frac1x\le0\ \Longleftrightarrow\ x<0.$$

Второе условие $4^{1/x}\ge3$ даёт $\frac1x\ge\log_4 3$. Приведём к общему знаменателю: $$\frac1x-\log_4 3\ge0\ \Longleftrightarrow\ \frac{1-x\log_4 3}{x}\ge0\ \Longleftrightarrow\ \frac{x\log_4 3-1}{x}\le0.$$ Методом интервалов (корни $x=0$ и $x=\frac1{\log_4 3}$, оба положительны) получаем, что дробь $\le0$ при $0<x\le\frac1{\log_4 3}$.

Объединяем оба случая (с исключением $x=0$, так как оно не входит в ОДЗ): $$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac1{\log_4 3}\right].$$