Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

1. Обозначим $t = 2^{\frac{x}{x+1}}$, где $t>0$ (показательная функция всегда положительна). Тогда $2^{\frac{2x}{x+1}} = \left(2^{\frac{x}{x+1}}\right)^2 = t^2$.

2. Преобразуем показатель второй степени: $\dfrac{5x+3}{x+1} = \dfrac{2x+3x+3}{x+1} = \dfrac{2x}{x+1}+3$. Значит $2^{\frac{5x+3}{x+1}} = 2^{\frac{2x}{x+1}}\cdot 2^3 = 8t^2$.

3. Исходное неравенство $2^{\frac{x}{x+1}} - 2^{\frac{5x+3}{x+1}} + 8 \le 2^{\frac{2x}{x+1}}$ переписывается как $t - 8t^2 + 8 \le t^2$, то есть $9t^2 - t - 8 \ge 0$.

4. Находим корни квадратного уравнения: $D = 1 + 4\cdot9\cdot8 = 289 = 17^2$, $t = \dfrac{1\pm17}{18}$, то есть $t_1 = 1$, $t_2 = -\dfrac{8}{9}$. Так как коэффициент при $t^2$ положителен, неравенство выполняется при $t \le -\dfrac{8}{9}$ или $t \ge 1$.

5. Учитываем, что $t>0$ по смыслу замены — значит вариант $t \le -8/9$ невозможен. Остаётся $t \ge 1$, то есть $2^{\frac{x}{x+1}} \ge 1 = 2^0$.

6. Так как показательная функция с основанием 2 возрастает, неравенство равносильно $\dfrac{x}{x+1} \ge 0$ при условии $x\neq -1$.

7. Методом интервалов для дробно-рациональной функции: числитель и знаменатель меняют знак в точках $x=0$ и $x=-1$. Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака или числитель равен нулю: получаем $x<-1$ или $x\ge 0$.

Итог: $x\in(-\infty;-1)\cup[0;+\infty)$.