Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Точка $O$ — центр вписанной окружности, значит $CO$ и $BO$ — биссектрисы углов $C$ и $B$.

Так как $CO$ делит угол $ACB$ пополам и $CM=AC$, треугольники $ACO$ и $MCO$ равны по двум сторонам и углу между ними (SAS): $AC=MC$, $\angle ACO=\angle MCO$, $CO$ — общая сторона. Отсюда $AO=OM$.

По условию $BM=AO$, значит $OM=BM$, т.е. треугольник $BOM$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle OBM=\angle BOM$.

Поскольку $BO$ — биссектриса угла $B$, $\angle ABO=\angle OBM$. Сравнив с предыдущим равенством, получаем $\angle ABO=\angle BOM$ — это накрест лежащие углы при пересечении прямых $AB$ и $OM$ секущей $BO$. Значит, $AB\parallel OM$.

б) Так как $AO=OM=BM$, четырёхугольник $ABMO$ — равнобедренная трапеция (боковые стороны $AO$ и $BM$ равны), поэтому углы при основании равны: $\angle BAO=\angle ABM$.

$AO$ — биссектриса угла $A$, значит $\angle BAO=\dfrac{\angle BAC}{2}$. Так как $M$ лежит на $BC$, $\angle ABM=\angle ABC$. Отсюда $\angle BAC=2\angle ABC$.

С учётом $\angle BCA=90^\circ$: $\angle BAC+\angle ABC=90^\circ\Rightarrow \angle ABC=30^\circ,\ \angle BAC=60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC=4$ лежит против угла $30^\circ$, поэтому $AB=\dfrac{AC}{\sin30^\circ}=8$, а $BC=AB\sin60^\circ=4\sqrt3$.

$CM=AC=4$, значит $BM=BC-CM=4\sqrt3-4=OM$.

Высота трапеции $OH$ (перпендикуляр из $O$ на $AB$) находится из прямоугольного треугольника $AOH$, где $\angle OAH=30^\circ$: $OH=\dfrac{AO}{2}=\dfrac{OM}{2}=2\sqrt3-2$.

Площадь трапеции: $S=\dfrac{AB+OM}{2}\cdot OH=\dfrac{8+4\sqrt3-4}{2}\cdot(2\sqrt3-2)=(2\sqrt3+2)(2\sqrt3-2)=12-4=8$.